题意：给定$n,k$，求$\sum_{i=1}^ni^k$。

柿子题。

根据二项式定理：

$$(n-1)^{k+1}=\sum_{r=0}^{k+1}\binom{k+1}{r}n^r\times (-1)^{k+1-r}$$

写出来：

$$(n-1)^{k+1}=n^{k+1}-\binom{k+1}{k}n^k + \sum_{r=0}^{k-1}\binom{k+1}{r}n^r\times (-1)^{k+1-r}$$

移项：

$$\binom{k+1}{k}n^k =n^{k+1}-(n-1)^{k+1}+ \sum_{r=0}^{k-1}\binom{k+1}{r}n^r\times (-1)^{k+1-r}$$

累加起来：

$$\binom{k+1}{k}\sum_{i=1}^ni^k =n^{k+1}+ \sum_{i=1}^n\sum_{r=0}^{k-1}\binom{k+1}{r}i^r\times (-1)^{k+1-r}$$

改变求和顺序：

$$\binom{k+1}{k}\sum_{i=1}^ni^k =n^{k+1}+ \sum_{r=0}^{k-1}\binom{k+1}{r}(-1)^{k+1-r}\sum_{i=1}^ni^r$$

完成！